速论虚数的本质和复数的一般结构

Quickly Prove that the Essence of Imaginary Numbers and the General Structure of Complex Numbers

摘要:虚数绝非虚构的数。本文从哲学和应用科学角度，揭露它们的本质，并简要讨论复数的一些应用价值和本身的数学结构。

关键词: 辩证法虚数矢量复数结构

Abstract: Imaginary numbers are not fictional numbers. In this paper , I expose their essence from the perspectives of philosophy and applied science, and briefly discuss some application values of complex numbers and their own mathematical structure.

Keywords: dialectics ; imaginary number ; vector ; complex numbers structure;

虚数存在的普遍意义

根据数学常识，复数集C由实数集R和虚数集I组成，即R∪I＝C且R∩I＝∅，其中，虚数集

真包含纯虚数集

，即实数和虚数统称为复数，其最简通式为z=a＋bi(a、b∈R)。因此，当b＝0时，复数z为(纯)实数；当b≠0时，复数z为虚数，这时如果a＝0，z就是纯虚数。其虚数单位ⅰ被定义为i²＝－1甚至ⅰ＝√－1，纯虚数即bi(b为非零实数)。

从表面上看，包含虚数单位的虚数，是不切实际的虚构数，显得比较荒诞，是不可思议的，毕竟根据人们的经验直觉，没有任何数的平方为负数，且负数没有平方根，历史上曾经引发巨大的争议，持续了几百年。

然而，根据辩证法原理，当我们用联系、运动、变化、全面、发展的观点去看待事物或问题时，才不会犯错误。并且辩证法的核心规律——对立统一规律告诉我们，矛盾即事物自身包含的既对立又统一的关系，也即事物之间或者事物内部诸要素之间的对立统一关系，所以，我们看待任何事物或问题时，不能绝对化、极端化，应该一分为二地看。

因此，既然反映事物各定量属性的数值(如物体的质量大小m)、大小关系(如在地表上，质量为75千克的人比质量为55千克的人重)，以及它们之间数量关系(如弱引力场里的宏观低速物体的加速变大小a反映了其所受合外力与质量的比值关系F/m)的实数存在，就一定存在与之对立统一的虚数存在。这也是虚数存在的普遍意义。

这就像最广大世界，既包括我们所在的宇宙世界，也包括与之对立而共存的非宇宙世界。

或许在某些地外文明里，那里的地外智慧生物的这种普适数学观正好与我们相反，他们的合乎直觉的数性正好是我们地球人类意义上的纯虚数本身，而我们的(纯)实数相当于他们在直觉上觉得不可思议的纯虚数本身，而由(纯)实数和纯虚数组成的虚数，对他们而言，也同样违背直觉。这些地外智慧生物就有可能包括地外星球智慧生物——外星智慧生物，他们可能包括一部分地外人类、外星人和其他类型的外星智慧生物。

复数的运算价值

由于在(纯)实数范围内，实数单位1或者它的相反数－1的平方，只能是1，所以，在纯虚数范围内，虚数单位ⅰ或者它的相反数(共轭虚数或共轭纯虚数)－i的平方，只能是与1对立统一而共存的－1，即ⅰ²＝－1或ⅰ＝√－1。

况且在解一些整式方程时，难免会遇到与纯虚数有关的解。比如一类简单的实系数一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，可以根据求根公式，直接求出解为x₁，₂＝[－b＋√(b²－4ac)]/(2a)或[－b－√(b²－4ac)]/(2a)；当其根的判别式△＝b²－4ac<0时，√(b²－4ac)就是纯虚数[√(4ac－b²)]ⅰ，从而导致这类方程仅有虚数解。如解简单的实系数一元二次方程x²＋1＝0时，该方程的解就是纯虚数，即x＝ⅰ或－i；

假如把(纯)实数的大小比较属性推广到纯虚数里，即纯虚数之间可以根据虚部的大小直接比较大小，这时还可以解一些没有实数解的不等式。比如解简单的一元二次不等式x²＋m<0(m∈R⁺，即m为正实数)时，在复数范围内，其解集绝非空集∅，它满足条件:x²是实数且x²<－m；显然，x只能是虚数，设x=a＋bⅰ(a、b∈R)，其中，b≠0，否则就是复数里的实数了，则x²＝a²－b²＋2abⅰ，由于x²是实数，所以，a=0，x²＝－b²(b≠0)，则x=bi或－bi(b≠0)，这说明x只能是纯虚数；

该不等式可转化为－b²<－m，则b>√m或b<－√m，即纯虚数x的绝对值(复数的模)|x|＝|b|>√m，其解集为{x|x>(√m)ⅰ或x<－(√m)ⅰ}，它对应于虚轴上小于－√m和大于√m的所有对应点的集合。

对于复数的最简通式z=a＋bi(a、b∈R、a=Re(z)，b=Im(z) )，任何一个复数都和复平面内的点(a，b)对应，且对应一个起点为原点O，终点坐标为Z(a，b)的矢量OZ。该矢量实际上可表示为a·1＋b·i，它其实是(纯)实数与纯虚数(或零)的矢量坐标化组合形式，即表示复平面内任何一个(纯)实数a和纯虚数b(或0)所对应的矢量的矢量和，相当于平面直角坐标系里的一种矢量坐标化组合形式ai＋bj(a、b均为实数，i、j分别为x、y轴的单位矢量(一种基底))，只不过复数的这种矢量表示形式是相对于复数平面而已。该复平面由垂直相交的实轴和虚轴决定。显然，其坐标表示均为(a，b)。

它们的加、减法运算和矢量的一样。即对于任意两个复数z₁、z₂，z₁＋ z₂、z₁－z₂是以z₁、z₂(或－z₂)在复平面内对应的矢量作为邻边的平行四边形的对角线矢量，其起点都为原点。且kz₁(k∈R)对应的矢量与z₁的共线，其模长是z₁的|k|倍，可见，复数的这类运算和平面矢量一样简便。

另外，在复数的乘法运算中，同样满足乘法交换律、结合律和分配律，在复数除法运算中，其除数同样可以被化成它的倒数因数。

比如任意两个复数z₁与z₂的积z₁z₂＝(a+bi)(c＋di)=(ac－bd)＋(ad＋bc)ⅰ，a、b、c、d∈R，它们的商为(a+bi)/(c＋di)＝[(ac＋bd)/(c²＋d²)]＋[(bc－ad)/(c²＋d²)] i，c²＋d²≠0。

其代数形式的运算相对繁琐，也可以运用欧拉公式e^(ⅰx)＝cosx+isinx (x∈R)，化成复指数形式:z₁＝|z₁|e^(ⅰθ₁)，z₂＝|z₂|e^(ⅰθ₂)，其中，|z₁|、|z₂|分别为复数z₁、z₂的模，它与复平面内矢量OZ₁、OZ₂的模相对应，θ₁、θ₂分别为以正实轴为始边，以OZ₁、OZ₂为终边的角，逆时针为正，顺时针为负，即复数z₁、z₂的辐角，θ₁、θ₂∈R；则z₁z₂＝(|z₁||z₂|)e^ⅰ(θ₁＋θ₂)，z₁/z₂＝(|z₁|/|z₂|)e^ⅰ(θ₁－θ₂)(z₂≠0)，这样就简单多了。

可见，这种欧拉公式所指的复数与复数平面内的以原点为圆心的单位圆上的点一一对应，这时可以把正、余弦函数的一些运算简化成复变指数函数的运算。

况且，任意两个复数的乘积z₁z₂＝(|z₁||z₂|)e^ⅰ(θ₁＋θ₂)，它表示俩复数z₁、z₂的复乘积对应的矢量的模等于这两个复因数的模的积，其对应的矢量与正实轴的夹角(辐角)等于这两个复因数的辐角之和；任意两个复数的商z₁/z₂＝(|z₁|/|z₂|)e^ⅰ(θ₁－θ₂)(z₂≠0)，它表示俩复数z₁、z₂的复商对应的矢量的模等于复被除数z₁与复除数z₂的模的商，其对应的辐角等于复被除数z₁与复除数z₂的辐角之差。

如果把z₁、z₂看成两个辐角变化的复自变量，则两个复变量对应于复平面内的旋转矢量OZ₁、OZ₂，这时，|z₁|和θ₁之中，至少θ₁是变量值，且|z₁|>0，同理，|z₂|和θ₂之中，至少θ₂是变量值，且|z₂|>0。

当然，这两种矢量表示法与平面内任意两个一般的矢量a、b的标量积a·b＝|a||b|cosθ、矢量积的模丨a×b|＝|a||b|sinθ(θ为俩矢量之间的夹角，θ∈[0、π])，甚至与共线矢量、矢量积所决定的矢量除法大不相同，复指数形式的复数的乘除法运算不需要计算三角函数值，就显得简单多了。不过各有各的应用场合。

比如物理常识里的一个可以简化成质点的平动物体在恒定合外力F的的作用下发生一段位移s，这两个矢量的标量积F·s就是合外力对物体所做的功，其大小为|F||s|cosθ(θ为合外力F与位移s的夹角，0≤θ≤π)，根据动能定理，它等于该物体动能的增量；

又如，一个可以简化成刚体的定轴转动物体，当一外力F作用在刚体上的一点A时，该点相对于转轴的位矢OA与转轴垂直，且满足该力对转轴的力矩M＝OA×F，矢量M的大小|M|＝丨OA丨|F|sinθ(θ为两个矢量之间的夹角，θ∈[0、π])，其方向为垂直于矢量OA和F所决定的平面，且遵循右手定则:右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向为由矢量OA通过不超过180°的角转到矢量F的方向，此时拇所指的方向为力矩M的方向。

再如，常见的工频电压为220伏，频率为50赫兹的家庭电路里的一个分支节点连着3条支路，两条流入，其稳态电流表达式分别为i₁＝10√2 sin100πt，i₂＝20√2sin(100πt＋π/3)(即它们都是单相正弦交流电，其电流有效值分别为10安和20安，求从该节点流出的稳态电流ⅰ的表达式时，可根据基尔霍夫电流定律，即根据电路中任一节点，在任何时刻，流入节点的电流之和等于流出该节点的电流之和，求得i＝i₁＋i₂＝10√2 sin100πt＋20√2sin(100πt＋π/3)。

显然，该解析式含有变量，用三角函数和角公式展开后再用配角(辅助角)公式计算相对麻烦，这时可利用欧拉公式，转换成复数表达式，通过正弦量的相量表示，写成Im[√2 Ie^j·100πt]＝Im[√2 I₁e^j·100πt]＋Im[√2 I₂e^j·100πt](在电工学里，为了避免虚数单位与交流电流i混淆，这里用j替代)，其中，形如√2 I的复数代表交流电流i在复平面内的振幅相量，而I表示交流电流有效值相量，√2 Ie ^j·100πt(＝√2 Ie^jφ·e^j·100πt)代表一种实变复值函数ω＝f(z)=f(t)，它表示电流ⅰ的旋转相量，其几何意义为在复平面上以√2I为半径，以φ为初相位，以ω＝100πrad/s为角速度，沿逆时针方向作圆周运动的旋转矢量；该旋转矢量在虚轴上的投影即√2Isin(100πt＋Φ)；

由于该等式在任何时刻t都成立，可化简为成I＝ I₁＋I₂，则 I＝10e^j·0＋ 20e^j·π/3＝20＋10√3 j＝10√7·e^jφ，φ＝arctan√3 /2≈40.89°≈0.714rad，所以ⅰ＝ Im[√2 ⅹ 10√7·e^jφ·e^j·100πt]≈10√14 sin (100πt ＋ 0.714)。由此求出电流表达式，其电流有效值I为10√7安，约为26.458安。从而把三角函数转化为复变指数函数，大幅简化计算。

综上可知，复数里面的虚数绝非数学家凭空想象的数，它除了本质上的实数的对立统一产物之外，至少还有矢量和三角函数方面的运算价值。

复数的一般结构

由于常见的二元复数z=a＋bi(a、b∈R)与二维复平面内的点和矢量一一对应，它实际上指的是“1＋1”维虚拟现实数，即由1维(纯)实数和1维纯虚数组成。

即便是拥有1个实部和多个虚部的推广的复数——超复数，也与多维复数空间的点和其对应的矢量一一对应，它实指“1＋n”维虚拟现实数，即由1维(纯)实数和n维纯虚数组成，n要么是有限数，要么是无穷大量。

如一种简单的超复数——四元数，它由一个实部和三个虚部组成，可表示成a＋bi＋cj＋dk，除开三个虚数单位i、j、k，a、b、c、d都是实数，它实际上指的是“1＋3”维虚拟现实数，即由1维(纯)实数和3维纯虚数组成。

由此可推测，数学世界里可能存在一大类多元超复数——“m＋n”维虚拟现实数，可表示成z＝(a₁，a₂，a₃，……，

)＋(b₁，b₂，b₃，……，

)ⅰ或z＝(a₁，a₂，a₃，……，

)＋b₁ⅰ₁＋b₂ⅰ₂＋b₃ⅰ₃＋……＋

)，m＋n≥3，即由m维(纯)实数和n维纯虚数组成，m、n要么是有限数，要么是无穷大量，它们与多维虚拟现实数学空间(超复数空间)里的点和矢量一一对应，指的是m维(纯)实数线、实数平面或实数空间里的矢量与n维纯虚数线、纯虚数平面或纯虚数空间里的矢量的矢量和。

这就如同采用半导体制造工艺，把电路所需的大量电阻、电容、电感、二极管、三极管、场效应管、晶闸管等元件及其连接导线集成在一小块硅片上，实现一种特定的集成电路功能一样，这样的“m＋n”维虚拟现实数，相当于把m个不同维度的(纯)实数和n个不同维度的纯虚数“集成”在一起，形成多元(超)复数，也可称之为“集成复数”；当m、n中至少有一个足够大时，该复数就属于“大规模集成复数”，如果至少有一个为无穷大，该复数就属于“超大规模集成复数”。

由此可知，多元复数相对于实数而言，是高维度复合数或高维度复杂数，实数是复数的实表示数或降维实表示数；而实数集R里的(纯)实数仅仅是它的一个维度，即一维实表示数，它们与一条实轴上的无穷多个点一一对应。